Ким В.С., Тестирование учебных достижений. - Уссурийск, 2007

5.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ θi и βj ИЗ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Рассмотрим процедуру вычисления   θi  и βj из эмпирических данных. В качестве исходных данных возьмем бинарную матрицу из таблицы 3.2.5. Дальнейшие расчеты выполним, следуя М.Челышковой6.

Сначала необходимо вычислить доли верных pi и неверных qi=1- pi ответов испытуемых.

где Xi - индивидуальный балл испытуемого, M - количество заданий в тесте.

Например, для 2-го испытуемого имеем

q2 = 1 - p2 = 1 - 0,75 = 0,25.

Далее вычисляем начальные значения уровня подготовленности испытуемых по формуле

Для 2-го испытуемого имеем

Аналогичные расчеты выполняются для всех десяти испытуемых (таблица 3.2.5) и заносятся в таблицу 5.3.1.

Далее вычисляем начальное значение трудности заданий βj.

Здесь j пробегает значения от 1 до M, где M -количество испытуемых. В качестве примера рассчитаем начальное значение трудности 2-го задания. Величины pj  и qj  рассчитаны нами ранее и приведены в таблице 3.2.5.

Таблица 5.3.1. Начальные значения уровня

 подготовленности испытуемых

i

Xi

pi

qi

qi0

(qi0)2

1

7

0,875

0,125

1,946

3,786

2

6

0,750

0,250

1,099

1,207

3

6

0,750

0,250

1,099

1,207

4

6

0,750

0,250

1,099

1,207

5

4

0,500

0,500

0,000

0

6

3

0,375

0,625

-0,511

0,261

7

2

0,250

0,750

-1,099

1,207

8

2

0,250

0,750

-1,099

1,207

9

1

0,125

0,875

-1,946

3,786

10

1

0,125

0,875

-1,946

3,786

 

 

 

 

å (qi0)2  =

17,655

Расчеты для всех восьми заданий сведены в таблицу 5.3.2.

Таблица 5.3.2. Начальные значения трудности заданий

j

Rj

pi

qi

bj0

(bj0)2

1

7

0,700

0,300

-0,847

0,718

2

7

0,700

0,300

-0,847

0,718

3

6

0,600

0,400

-0,405

0,164

4

5

0,500

0,500

0,000

0

5

5

0,500

0,500

0,000

0

6

4

0,400

0,600

0,405

0,164

7

2

0,200

0,800

1,386

1,922

8

1

0,100

0,900

2,197

4,828

 

 

 

 

å (bj0)2 =

8,514

Теперь мы можем вычислить средние значения уровня подготовленности испытуемых и трудности заданий.

В таблицах 5.3.1. и 5.3.2 мы имеем значения параметров на разных интервальных шкалах. Нам надо свести их в единую шкалу стандартных оценок. Для этого необходимо вычислить дисперсии Sθ и Sβ, используя данные из таблиц 5.3.1  и  5.3.2.

Далее вычисляем угловые коэффициенты

Наконец, мы можем записать оценки параметров θ и β на единой интервальной шкале10.

Для  нашего примера получим

θi = 1,911·θi0 + 0,236

βj=2,284· βj0 - 0,136

Все результаты сведены в таблицы 5.3.3 и 5.3.4 (второй столбец).

Из таблицы 5.3.4. следует, что

То есть, заданий с положительными βj больше, чем с отрицательными. Данный тест не сбалансированный, он содержит больше трудных заданий, чем легких.

Рекомендуется стремиться к тому, чтобы Σβ было близко к нулю.

 

Нам осталось вычислить стандартные ошибки измерения SE(θi) и  SE(βj)  для θi. и βj

Таблица 5.3.3. Расчетные параметры для уровня подготовленности испытуемых

i

θi

SE(θi)

θi

1

3,955

2,043

2,436

2

2,335

1,560

1,365

3

2,335

1,560

1,365

4

2,335

1,560

0,523

5

0,236

1,351

-0,157

6

-0,740

1,396

-0,781

7

-1,863

1,560

-1,431

8

-1,863

1,560

-1,431

9

-3,483

2,043

-2,217

10

-3,483

2,043

-2,217

Таблица 5.3.4. Расчетные параметры для трудности
заданий теста

j

βj

SE(βj)

βj

1

-2,071

1,576

-1,545

2

-2,071

1,576

-1,669

3

-1,062

1,474

-0,603

4

-0,136

1,445

-0,502

5

-0,136

1,445

-0,256

6

0,790

1,474

0,102

7

3,030

1,806

1,854

8

4,882

2,408

2,620

 

Например, для первого испытуемого  получим

Для первого задания стандартная ошибка равна

Вычисленные значения стандартных ошибок приведены в таблицах 5.3.3 и 5.3.4 (третий столбец).

Ким В.С., Тестирование учебных достижений. - Уссурийск, 2007