Значения вычисленных параметров θi и βj могут измениться на других выборках испытуемых. При больших объемах выборки можно вычислить значения θi’ и βj’, к которым в результате итерационной процедуры, будут стремиться θi и βj.
Обычно итерационная процедура выполняется методом наибольшего правдоподобия Р.Фишера.
Можно показать, что функция правдоподобия имеет вид2
где αij - элементы бинарной матрицы результатов тестирования.
В качестве оценок наибольшего правдоподобия θi’ и βj’. принимают такие значения θi и βj, при которых функция правдоподобия достигает глобального максимума. Поскольку функции L и ln L достигают максимума при одних и тех же значениях своих аргументов, то удобно искать максимум функции ln L, называемой логарифмической функцией правдоподобия
Для нахождения максимума логарифмической функции правдоподобия надо найти частные производные функции по каждому ее аргументу и приравнять нулю
Мы получили систему уравнений правдоподобия. Эта система уравнений решается в итерационном цикле путем последовательной подстановки найденных значений аргументов в качестве исходных.
Результаты вычислений для нашего примера приведены в таблицах 5.3.3 и 5.3.4 (четвертый столбец). Видно, что данные во втором и четвертом столбцах заметно различаются. Это связано с тем, что наша модельная выборка недопустимо мала. При больших выборках это различие невелико.
Кроме метода наибольшего правдоподобия существуют и другие методы нахождения устойчивых оценок латентных параметров. В частности, A.J.Stenner, B.D.Wright & J.M.Linacre11 предложили другую итерационную процедура, время прохождения которой, в среднем, в два раза меньше, чем в методе наибольшего правдоподобия12.